質問した単語の意味はほぼ同じです。

'같이'　は「同じく、一緒に」という意味で、　'함께'　は「一緒に、共に」という意味になります。でも、「同時に」という意味では　'함께'　だけ使うことができます。

다 같이 갈까요?

（みんな一緒に行きませんか？）

개장과 함께 사람들이 많이 왔다. (O)

개장과 같이 사람들이 많이 왔다. (X)

（開場とともに、同時に、人たちがたくさん来た）

  '더불어'　の基本形は '더불다'　で「一緒に、共に、同時に起こる」という意味になります。

자연과 함께 살아가다.　(O)

자연과 더불어 살아가다.　(O)

（自然と共に暮らす）

また、全部「一緒に」と言う意味で使われますが、話し言葉では　'같이'　の方が　書き言葉では　'함께'　、  '더불어'　がよく使われます。